El hotel infinito

Trabajar con infinitos suele resultar curioso para el que no está acostumbrado, ya que se suelen obtener resultados no comunes, diferentes a lo que se suele obtener al trabajar con números finitos, normales.

Para poder trabajar con números infinitos en una situación “habitual”, vayámonos a un hotel, un tanto especial eso sí.

Así que pongámonos en la piel de unos guiris que llegan a un hotel en busca de habitación, con su camiseta veraniega, bañador, sombrilla y cámara de fotos colgando, por supuesto.

En la entrada nos espera el pobre recepcionista, bastante estresado el hombre debido a los innumerables clientes que tiene ya el hotel. Al llegar nos dice que el hotel está totalmente completo, pero que no nos preocupemos, pues el hotel tiene infinitas habitaciones.

En principio, si el hotel tuviera, por ejemplo, 100 habitaciones y todas ellas estuvieran completas, el recepcionista no tendría más remedio que decirnos que está lleno y que no cabe más gente. Sin embargo, al tener infinitas habitaciones, teniendo ya infinitos huéspedes en todas ellas, cabe perfectamente uno más.

Ahora, ¿cómo le metemos?. Porque no es plan de mandarlo a la última habitación… teniendo que recorrer infinitas habitaciones hasta llegar a ella!.
Aunque aquí la solución es fácil: avisamos desde recepción que todos nuestros huéspedes se cambien a la habitación contigua (la siguiente a la que están), de forma que la primera quedará libre, donde meteremos a nuestro nuevo cliente.
¿Por qué podemos seguir metiendo gente? fundamentalmente y aunque resulte raro, porque si sumamos un número a infinito, sigue dando infinito (no es infinito + 1), así que con infinitas habitaciones, podemos ir metiendo a todos los turistas que nos lleguen, aunque ya tengamos infinitos.

Pero ¿y si nos llega un viaje turístico con infinitos turistas? ¿Qué hacemos?. En principio vamos a volver a intentar meterlos a todos en nuestro hotel, pero habrá que buscar una forma nueva de ir introduciéndolos, ya que esta vez no podemos ir metiendo uno a uno en nuestro hotel… pues tardaríamos un tiempo infinito en meterlos a todos!!!.
Aquí es donde el recepcionista comienza a sudar…
Ahora ya se debe tomar su tiempo para pensar, aunque pronto se le ocurre la solución: solo necesitamos dejar libres infinitas habitaciones, que pasarán a ocupar los recién llegados, que ya comenzaban a impacientarse.

Para ello, una forma sencilla es comunicar a todos nuestros huéspedes que se pasen a la habitación cuyo número es el doble de la que están actualmente. Así, los de las habitaciones 1,2,3,4,… pasarán a ocupar las habitaciones 2,4,6,8,…
Si! quedarán todas las habitaciones impares (que son infinitas habitaciones) perfectamente libres.

Y por último ya, ¿qué ocurre si la compañía de viajes turísticos ha realizado una oferta tan buena para venir a nuestro hotel que de repente se nos presentan infinitos autobuses con infinitos turistas cada uno de ellos?.
Pues que a nuestro recepcionista le dará un ataque de pánico lo primero. Y después tendrá un buen rato para pensar cómo recibir a todos estos turistas…

Ahora ya hay muchas menos opciones, puesto que se trata de organizar a infinitos grupos con infinitos turistas en cada uno de ellos, por lo que no podemos repetir las jugadas anteriores…

¿Se os ocurre ya cómo administrarlos?.
Ahora ya tiene que ser algo más rebuscado: por ejemplo podemos hacer que nuestros actuales inquilinos pasen, al igual que antes, hacia una habitación con el número el doble de la que están, dejando así las habitaciones impares libres.
Pero ahora, podemos asignar a los nuevos huéspedes las habitaciones de una forma diferente: a cada autobús le vamos asignando un número primo (esos que no son divisibles más que por ellos mismos) comenzando por tres: 3, 5, 7, 11, etc.
Hasta aquí no hay ningún problema, puesto que hay infinitos números primos. Así que ahora ya solo queda asignar una habitación a cada uno de los pasajeros de los autobuses.
Para lo cual, la manera más simple es asignar un número a cada pasajero: 1,2,3,4,… y mandarles a la habitación con un número igual a la del autobús elevado a su número, es decir, los pasajeros del autobús 3 irán a las habitaciones 31, 32, 33, etc.

Así, conseguiremos llenar de nuevo todas las habitaciones, habiendo recibido un número infinito de autobuses con infinitos pasajeros cada uno de ellos.

El anterior razonamiento se debió al matemático David Hilbert.
Desde luego, trabajar con infinitos nos puede traer más de una sorpresa… aunque en el fondo son entretenidos y dan bastante juego😉

  • El hotel de Hilbert, en Gaussianos.
  • 2 comentarios en “El hotel infinito

    1. Buen post! Lo había leído en un libro y no me había enterado muy bien, pero ahora está clarísimo🙂

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