Fractales en el ordenador

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Un fractal es un tipo de estructura geométrica que tiene la particularidad de que si se amplía, al final obtendremos una estructura semejante a la de partida. Es decir, al ir ampliando volvemos a ver la misma estructura que a grandes escalas.

El primero que acuñó el nombre y los estudió en profundidad fue el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 (como vemos son bastante recientes), quien representó detalladamente usando un ordenador lo que al final se llamó conjunto de Mandelbrot, que es uno de los conjuntos fractales más conocidos y es el que podemos ver en la imagen de cabecera.

¿Cómo se forma ese conjunto?

Lo más gracioso de estos conjuntos es que la idea subyacente es extremadamente simple. Solamente hay que trabajar con números complejos, y ir calculando los diferentes términos de una serie del tipo

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es decir, elegimos un número complejo inicial cualquiera. Y a continuación vamos obteniendo los siguientes términos de la progresión.

En función de qué número hayamos elegido, obtendremos que esta progresión divergirá o por el contrario, estará acotada dentro de un área localizada (por ejemplo, que se mantengan todos los puntos dentro de una circunferencia de radio R).

A dibujarlo

Una vez conocemos cómo se construye, falta poder representarlo y que quede “bonito”, como en la imagen de arriba. Para ello, hacemos que el programa vaya calculando los términos de las diferentes series para un gran rango de puntos iniciales. Y en función del comportamiento que tenga dicha serie, asignamos un color a ese número inicial.

Es decir, si dado un número inicial, su serie siempre se mantiene acotada (los números obtenidos siempre son menores a un cierto valor), pues le asignamos el color negro a ese punto. Si en cambio, la serie diverge al cabo de un cierto tiempo, en función de dicho tiempo le damos un color u otro: rojo, amarillo, azul, etc.

Haciendo esto con todos los puntos que se corresponden a lo que vemos en pantalla, obtenemos un dibujo como el anterior. Con la peculiaridad de que si ampliamos una zona, en general obtendremos el mismo dibujo que el que vemos. Y si ampliamos más, volveremos a tener la misma forma.

Otros conjuntos fractales

Entre otros de los más famosos fractales que podemos encontrar, están la alfombra de Sierpinsky (que muchos tendrán una copia de ella bajo sus pies), o el conjunto de Cantor.

Conjunto_de_Cantor.png
Conjunto de Cantor. Wikipedia.

Este último consiste en, partiendo de una línea, pongamos de 1 cm, la dividimos en tres trozos y nos quedamos con el primero y el último. Es decir, a la línea inicial le quitamos el trozo central. Ahora repetimos el mismo proceso con los dos trozos que hemos obtenido anteriormente, y luego con los nuevos y así hasta el infinito.
Al final tenemos un conjunto infinito de puntos, de tal forma que la dimensión que tiene el conjunto no es 0 (la que tendría un punto) pero tampoco llega a 1 (pues no completa la recta entera), y es que esta es otra de las peculiaridades de los fractales: ninguno tiene una dimensión entera (2,3,…), sino que es decimal.

100px-Menger_4.PNG.png
Alfombra de Sierpinsky. Wikipedia.

La alfombra de Sierpinsky es otro conjunto que podemos obtener partiendo de un cuadrado (i.e. 2 dimensiones). Dividiéndolo en 9 trozos, eliminamos el central, por lo que nos quedaría el cuadrado inicial que un agujero cuadrado en el centro. Ahora, subdividimos cada uno de los 8 cuadrados restantes en otros 9 cuadrados y realizamos la misma operación: eliminamos el central.
Si seguimos la operación, obtendremos el conjunto que vemos en la figura de la derecha, donde los “agujeros” son los cuadrados de color negro. A muchos les sonará de tapizados de alfombras, ya que es muy utilizado en estos objetos.

Fraqtive y diversión

Si queremos disfrutar de estos conjuntos y pasar un rato entretenido viendo como “evoluciona” el conjunto al ir ampliándolo, tenemos un gran programa como Fraqtive, que es de código abierto y rinde muy bien (disponible tanto para Mac, BSD, GNU/Linux ó Windows).
Hay que aclarar que al ir ampliando, el ordenador tiene que ir recalculando todos los puntos que tenemos en pantalla haciendo la serie antes mencionada para cada uno de ellos, por lo que cuando llevamos una ampliación grande, veremos cómo cada vez le cuesta más calcularlo y mostrarlo en pantalla.

Referencias

ACTUALIZACIÓN: En esta entrada de Pasa la vida se puede encontrar un vídeo donde van ampliando el conjunto de Mandelbrot hasta límites insospechados (realiza una ampliación de 10241), en casi 10 minutos de vídeo. Al final del viaje, se llega a conocido…

2 comentarios en “Fractales en el ordenador

  1. había leído cosas sobre fractales pero no conocía el conjunto de cantor. quizás sea el ejemplo más sencillo para entender lo que son

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