Subámonos a una moto relativista…

Después de estos días sin escribir nada, intentaré hacer una entrada sobre uno de mis temas predilectos: la Teoría de la Relatividad. Para ello, vamos a dar una vueltecita en moto…(tranquilos, solo mentalmente y con casco) aunque eso sí, rebasando el límite de velocidad y acercándonos a la velocidad de la luz, de forma que la excusa de “me salté el semáforo porque para mí estaba en verde” sea cierta (los que no sepan a qué me refiero, espero que después de leer la entrada lo entiendan).

Para salir de estos días grises y lluviosos (al menos por Cantabria), supongamos que nos encontramos en el portal de casa, junto a cualquier persona (amigo, novia,…) de un día de verano.
Ahora ya estamos listos para dar nuestra vueltecita, dejando a nuestros amigos por unos minutos.

Así, que aceleramos y nos metemos por una calle sin mucho tráfico. De momento vemos todo normal (saludamos al vecino cotilla, esquivamos el gato…), ya que vamos a una velocidad moderada.

Pero ahora aumentamos nuestra velocidad, hasta un décimo de la velocidad de la luz (unos 30.000 km/s, casi 2 millones de kilómetros por hora). ¿Qué ocurre? Pues comenzamos a notar que las cosas que tenemos enfrente toman un ligero color azulado, aunque apenas es apreciable. En esto que miramos por el espejo retrovisor, y vemos que las cosas que dejamos hacia atrás toman, en cambio, un tono colorado, aunque también bastante suave.

Aquí es cuando comenzamos a ver que “algo pasa”, y es que debido a que viajamos a una velocidad cercana a la de la luz, observamos el efecto Doppler para la luz (el del sonido le observamos todos los días cuando un coche nos pasa rápidamente: cuando se acerca oímos un tono más agudo, para la luz esto es más azul, y cuando se aleja un tono más bajo, el análogo del rojo en la luz).

Sin embargo, todavía queda lo mejor: ahora aumentamos nuestra velocidad hasta un 99.99% la de la luz, unos 300.000 km/s. Ahora es cuando nuestro conductor siente el miedo en sus ojos.
Lo primero que vemos es que nuestra visión se ha ido reduciendo hasta lo que tenemos inmediatamente delante. Por los laterales hemos ido dejando de ver el paisaje, y toda nuestra visión se ha ido acumulando delante nuestro, además de adquirir un tono azul intenso.
Por supuesto, si miramos hacia atrás observamos el mismo efecto, solo que todo con un tono rojo.

Lo de no ver por los laterales se debe a un efecto similar a cuando llueve y vamos a gran velocidad (en un coche vale, que hablando de la velocidad de la luz podría parecer que necesitábamos un cohete), que observamos como aparentemente todas las gotas vienen desde enfrente, y por los costados no caen apenas.

Aunque todavía queda una última sorpresita. Después de dar esta vueltecita de unos minutos, volvemos a nuestro portal a reencontrarnos con nuestros amigos.
Sin embargo, lo que nos encontramos es a unos pacientes ancianos. Pero fijándonos más detenidamente, vemos que son nuestros amigos, solo que con unos 40 años más encima.
Y esta es la otra consecuencia de la relatividad. Al ir a velocidades cercanas a la de la luz, el tiempo para nosotros pasa más despacio que para alguien que viaja más lento, y por lo tanto, lo que ha sido un viaje de varios minutos para nosotros, ha sido un viaje de muchos años para nuestros amigos.

PD: claramente, no he tenido en cuenta ni las aceleraciones que ha experimentado el motorista, ni cómo consigue esa moto alcanzar esas velocidades, ni cómo puede esquivar los coches o qué ha pasado durante todos esos años.

La idea original se encuentra en uno de los maravillosos capítulos de la serie Cosmos de Carl Sagan.

La paradoja de Zenón

Revivamos hoy un problema planteado por el filósofo griego Zenón de Elea en torno al 450 a. de N.E. también llamada la paradoja del corredor.

Supongamos un corredor que ha de recorrer una determinada distancia: por ejemplo 1 km, y supongamos que comienza en el punto marcado con 1km, y su meta se encuentra en el punto de 0 km.
Pero para alcanzar la meta, nuestro pobre corredor debe de llegar primero al punto de 1/2 km, después al de 1/4 km, después al de 1/8 km, …
Por lo tanto, nuestro corredor deberá recorrer infinitas longitudes, cada vez más pequeñas, pero éstas siguen siendo infinitas.

Luego… si el pobrecito tiene que recorrer infinitas distancias, resulta “lógico” pensar que tendrá que invertir también un tiempo infinito en recorrerlas (ya que tiene que invertir un tiempo en recorrer cada una de ellas).
Así que nuestro corredor (por eso venía lo de pobrecito), nunca llegará a la meta.

¿Dónde está el fallo?

Primero tengo que puntualizar que en la época de Zenón, todavía no se tenía ninguna idea clara sobre los números o series infinitas, aunque ya se comenzaba a pensar que éstas existían. Por esto mismo, que salieran estas paradojas era lógico, y también que no se tuviera muy claro cómo resolverlas (ya que intuitivamente podemos afirmar que cualquier persona que se ponga a recorrer 1 km a una velocidad constate y no le pase nada por el camino, llegará en un tiempo finito, y no demasiado largo).

Analizando lo que sabemos, nos encontramos con que el corredor debe recorrer infinitas distancias, dadas por: 1/2 + 1/4 + 1/8 + … y se puede ver que esta serie converge (su suma es igual a) a 1 km, ya que por el razonamiento que hemos llevado, cuando el corredor recorra todas estas distancias, habrá recorrido 1 km.

Y el paso que elimina la paradoja viene aquí. Para recorrer estas distancias, el corredor debe invertir un tiempo dado. Suponiendo que va a velocidad constante tal que necesita un tiempo T para recorrer 0.5 km, el tiempo total que necesitará para recorrer esta distancia es:

que se puede escribir como:

y donde resulta obvio que la última parte es una suma igual a la que teníamos en la distancia, y que si recordamos, sumaba 1.
Por tanto, el tiempo que invierte nuestro corredor es 2T. Una cantidad finita, y de acuerdo con nuestra intuición (si tarda T segundos en recorrer 0.5 km, tardará 2T en recorrer 1 km).

La limitación que tenían los griegos es que al no entender todavía los números infinitos, no tenían claro que una suma de infinitos números pudiera dar un resultado finito.

Paradoja del lingote de plata (viajes en el tiempo)

Hoy hablaré sobre una de las paradojas que se dan en los “viajes en el tiempo”, la cual imposibilita que haya tales viajes al pasado.

Supongamos que nos hemos hecho, por medios lícitos para evitar más problemas, con un lingote de plata (somos suficientemente humildes como para no haber cogido uno de oro…).

Ahora vamos al banco y lo guardamos en una caja fuerte (aunque tal y como están las cosas sería dejarlo en casa…), por ejemplo hoy, 11 de noviembre.
Una vez con el lingote resguardado, nos olvidamos de él por un año, y al año siguiente (11 de noviembre de 2009) nos cogemos nuestra maquinita del tiempo y retrocedemos un día: al 10 de noviembre de 2009.
Entonces vamos al banco, cogemos el lingote, y nos le llevamos a casa (regresando a nuestro presente: 12 de nov.).

A continuación nos volvemos a montar en la máquina y vamos dos días antes: al 10 de nov. Y repetimos nuestros pasos: vamos al banco y recogemos nuestro lingote (que estará allí ya que le sacamos el 11, así que el 10 estaba), llevándonoslo de vuelta a casa, al día 12.
Aquí introduzco (por mi cuenta) una pequeña diferencia para evitar posibles “subparadojas” que podrían salir: los lingotes que recogemos, suponemos que los guardamos en un bolsillo de nuestro abrigo, ya que si los dejamos en nuestra casa los días 12, podría argumentarse que al variar el pasado (el día 11 o 10) se variaría el presente (es decir, lo que existe en el día 12).

Reiterando este proceso para los días 9, 8, … hasta llegar al día 12 de noviembre de 2008 (mañana), hemos conseguido tener 365 lingotes de plata (suponemos que el banco tiene personal trabajador que abrían domingos, festivos, y demás), partiendo de uno. De hecho, los 365 lingotes serán exactamente iguales, ya que en realidad son el mismo.

Si en vez de una vez al día vamos 12 veces al día, y bien dejamos el lingote varios años, en vez de solamente uno, podríamos obtener una gran cantidad de lingotes de plata con más que realizar suficientes viajes. Esto sería una muy buena manera de hacerse rico, ya que solo necesitas… viajar mucho (lo de tener o no una máquina del tiempo lo consideramos irrelevante… ¡quién no tiene una en el trastero!).

Problemas y paradojas derivadas

Ahora bien, para empezar se nos presentaría un problema en el que cualquier tasador ya habría caído: cada lingote lleva un código o número que le acredita como “legal”, así que como todos nuestros lingotes tienen el mismo código (recordemos que son exactamente iguales), no podríamos vender más que uno solo.
Como principal alternativa, por supuesto, sería el marcado negro…

Pero bueno, esto solo sería un problema de “administración de recursos”, vayamos ahora al problema físico.
Hemos obtenido una gran cantidad de lingotes a partir…. de la nada (o estrictamente, de uno).
Aquí hay que comentar una de las leyes fundamentales de la física: la conservación de la energía, que nos dice que no podemos crear energía de la nada, sino que para obtener una energía la hemos de haber sacado u “convertido” de otro sitio. Por ejemplo el frigorífico la saca de la corriente eléctrica; ésta lo saca de una central nuclear o un parque eólico por ejemplo, y éstos a su vez lo sacan de perder material radiactivo, o de la energía que traía el viento. Y así seguiría.

Así que, como queda patente en nuestro viaje, hemos sacado los lingotes de la nada, ya que además, para poder obtener dichos lingotes a partir de solamente energía, necesitaríamos una enorme cantidad de ésta, mucho mayor que la que te pueden producir una central nuclear incluso.

Por lo tanto, es imposible obtener este resultado.

Por si fuera poco con los lingotes, situémonos en el lugar donde “aterrizas” con la máquina del tiempo. Para un espectador que estuviera en ese lugar, acaba de ver aparecer una máquina, una persona y una chaqueta llena de lingotes, de la nada (no me extraña que saliera corriendo…).

Para acabar, solo comentar que, a parte de las anteriores paradojas que prohiben que haya tal viaje, hay otra perspectiva desde la que se prohibe, la puramente matemática: la Conjetura de consistencia de Novikov, elaborada por el astrofísico Igor Novikov a mediados de los 80, y que demuestra (a grandes rasgos) que cualquier evento que exista, si provoca una paradoja, o cualquier cambio en el pasado, entonces la probabilidad de que este evento ocurra es cero, es decir, no puede suceder.

Más información en Casanchi, por F. A. Violat.