Los misterios del Universo

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De cómo no poder sacar a más de tres personas a la pizarra

Hasta ahora cuando nos aburríamos un día y queríamos ver ocurrencias que quieren imponer por el mundo, siempre solía ser habitual recurrir a la parte oscura de Estados Unidos, donde de vez en cuando saltan noticias como que en su día quisieron poner por ley que pi valga 4equiparar evolución a creación, u otros ejemplos.

Pero eso era antes. Ahora no hace falta desplazarnos tanto. Como última entrega en las respuestas para problemas no existentes nos llega una desde la Unidad para la Igualdad entre Mujeres y Hombres, bajo la firma de la Universidad de Murcia. Parece ser que a partir de ahora en clase de ciencias se va a prohibir sacar a más de 3 personas a la pizarra.
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La cuerda y el melón

Empecemos el día con dos curiosidades que nos traen las matemáticas y que en un principio parecen ir contra nuestra intuición, aunque realmente sea el resultado así. Una de ellas es bastante conocida y típica de los comentarios de sobremesa pero la otra lo es bastante menos.

La primera, la que posiblemente la mayoría ya conozcáis, es sobre qué pasaría si colocamos una cuerda alrededor de la Tierra y aumentásemos su longitud una pequeña cantidad, ¿cuánto se elevaría?.
Y la segunda, la más desconocida, trata sobre alimentos con bastante contenido en agua. Viendo realmente cuánta cantidad pierden de agua si los dejamos al Sol un tiempo.

Ambos con resultados que en principio nuestra cabeza tacharía de incorrectos.

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El hotel infinito

Trabajar con infinitos suele resultar curioso para el que no está acostumbrado, ya que se suelen obtener resultados no comunes, diferentes a lo que se suele obtener al trabajar con números finitos, normales.

Para poder trabajar con números infinitos en una situación “habitual”, vayámonos a un hotel, un tanto especial eso sí.

Así que pongámonos en la piel de unos guiris que llegan a un hotel en busca de habitación, con su camiseta veraniega, bañador, sombrilla y cámara de fotos colgando, por supuesto.

En la entrada nos espera el pobre recepcionista, bastante estresado el hombre debido a los innumerables clientes que tiene ya el hotel. Al llegar nos dice que el hotel está totalmente completo, pero que no nos preocupemos, pues el hotel tiene infinitas habitaciones.

En principio, si el hotel tuviera, por ejemplo, 100 habitaciones y todas ellas estuvieran completas, el recepcionista no tendría más remedio que decirnos que está lleno y que no cabe más gente. Sin embargo, al tener infinitas habitaciones, teniendo ya infinitos huéspedes en todas ellas, cabe perfectamente uno más.

Ahora, ¿cómo le metemos?. Porque no es plan de mandarlo a la última habitación… teniendo que recorrer infinitas habitaciones hasta llegar a ella!.
Aunque aquí la solución es fácil: avisamos desde recepción que todos nuestros huéspedes se cambien a la habitación contigua (la siguiente a la que están), de forma que la primera quedará libre, donde meteremos a nuestro nuevo cliente.
¿Por qué podemos seguir metiendo gente? fundamentalmente y aunque resulte raro, porque si sumamos un número a infinito, sigue dando infinito (no es infinito + 1), así que con infinitas habitaciones, podemos ir metiendo a todos los turistas que nos lleguen, aunque ya tengamos infinitos.

Pero ¿y si nos llega un viaje turístico con infinitos turistas? ¿Qué hacemos?. En principio vamos a volver a intentar meterlos a todos en nuestro hotel, pero habrá que buscar una forma nueva de ir introduciéndolos, ya que esta vez no podemos ir metiendo uno a uno en nuestro hotel… pues tardaríamos un tiempo infinito en meterlos a todos!!!.
Aquí es donde el recepcionista comienza a sudar…
Ahora ya se debe tomar su tiempo para pensar, aunque pronto se le ocurre la solución: solo necesitamos dejar libres infinitas habitaciones, que pasarán a ocupar los recién llegados, que ya comenzaban a impacientarse.

Para ello, una forma sencilla es comunicar a todos nuestros huéspedes que se pasen a la habitación cuyo número es el doble de la que están actualmente. Así, los de las habitaciones 1,2,3,4,… pasarán a ocupar las habitaciones 2,4,6,8,…
Si! quedarán todas las habitaciones impares (que son infinitas habitaciones) perfectamente libres.

Y por último ya, ¿qué ocurre si la compañía de viajes turísticos ha realizado una oferta tan buena para venir a nuestro hotel que de repente se nos presentan infinitos autobuses con infinitos turistas cada uno de ellos?.
Pues que a nuestro recepcionista le dará un ataque de pánico lo primero. Y después tendrá un buen rato para pensar cómo recibir a todos estos turistas…

Ahora ya hay muchas menos opciones, puesto que se trata de organizar a infinitos grupos con infinitos turistas en cada uno de ellos, por lo que no podemos repetir las jugadas anteriores…

¿Se os ocurre ya cómo administrarlos?.
Ahora ya tiene que ser algo más rebuscado: por ejemplo podemos hacer que nuestros actuales inquilinos pasen, al igual que antes, hacia una habitación con el número el doble de la que están, dejando así las habitaciones impares libres.
Pero ahora, podemos asignar a los nuevos huéspedes las habitaciones de una forma diferente: a cada autobús le vamos asignando un número primo (esos que no son divisibles más que por ellos mismos) comenzando por tres: 3, 5, 7, 11, etc.
Hasta aquí no hay ningún problema, puesto que hay infinitos números primos. Así que ahora ya solo queda asignar una habitación a cada uno de los pasajeros de los autobuses.
Para lo cual, la manera más simple es asignar un número a cada pasajero: 1,2,3,4,… y mandarles a la habitación con un número igual a la del autobús elevado a su número, es decir, los pasajeros del autobús 3 irán a las habitaciones 31, 32, 33, etc.

Así, conseguiremos llenar de nuevo todas las habitaciones, habiendo recibido un número infinito de autobuses con infinitos pasajeros cada uno de ellos.

El anterior razonamiento se debió al matemático David Hilbert.
Desde luego, trabajar con infinitos nos puede traer más de una sorpresa… aunque en el fondo son entretenidos y dan bastante juego ;)

  • El hotel de Hilbert, en Gaussianos.
  • Fractales en el ordenador

    fractal1.jpg

    Un fractal es un tipo de estructura geométrica que tiene la particularidad de que si se amplía, al final obtendremos una estructura semejante a la de partida. Es decir, al ir ampliando volvemos a ver la misma estructura que a grandes escalas.

    El primero que acuñó el nombre y los estudió en profundidad fue el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 (como vemos son bastante recientes), quien representó detalladamente usando un ordenador lo que al final se llamó conjunto de Mandelbrot, que es uno de los conjuntos fractales más conocidos y es el que podemos ver en la imagen de cabecera.

    ¿Cómo se forma ese conjunto?

    Lo más gracioso de estos conjuntos es que la idea subyacente es extremadamente simple. Solamente hay que trabajar con números complejos, y ir calculando los diferentes términos de una serie del tipo

    ec-fractales.png

    es decir, elegimos un número complejo inicial cualquiera. Y a continuación vamos obteniendo los siguientes términos de la progresión.

    En función de qué número hayamos elegido, obtendremos que esta progresión divergirá o por el contrario, estará acotada dentro de un área localizada (por ejemplo, que se mantengan todos los puntos dentro de una circunferencia de radio R).

    A dibujarlo

    Una vez conocemos cómo se construye, falta poder representarlo y que quede “bonito”, como en la imagen de arriba. Para ello, hacemos que el programa vaya calculando los términos de las diferentes series para un gran rango de puntos iniciales. Y en función del comportamiento que tenga dicha serie, asignamos un color a ese número inicial.

    Es decir, si dado un número inicial, su serie siempre se mantiene acotada (los números obtenidos siempre son menores a un cierto valor), pues le asignamos el color negro a ese punto. Si en cambio, la serie diverge al cabo de un cierto tiempo, en función de dicho tiempo le damos un color u otro: rojo, amarillo, azul, etc.

    Haciendo esto con todos los puntos que se corresponden a lo que vemos en pantalla, obtenemos un dibujo como el anterior. Con la peculiaridad de que si ampliamos una zona, en general obtendremos el mismo dibujo que el que vemos. Y si ampliamos más, volveremos a tener la misma forma.

    Otros conjuntos fractales

    Entre otros de los más famosos fractales que podemos encontrar, están la alfombra de Sierpinsky (que muchos tendrán una copia de ella bajo sus pies), o el conjunto de Cantor.

    Conjunto_de_Cantor.png
    Conjunto de Cantor. Wikipedia.

    Este último consiste en, partiendo de una línea, pongamos de 1 cm, la dividimos en tres trozos y nos quedamos con el primero y el último. Es decir, a la línea inicial le quitamos el trozo central. Ahora repetimos el mismo proceso con los dos trozos que hemos obtenido anteriormente, y luego con los nuevos y así hasta el infinito.
    Al final tenemos un conjunto infinito de puntos, de tal forma que la dimensión que tiene el conjunto no es 0 (la que tendría un punto) pero tampoco llega a 1 (pues no completa la recta entera), y es que esta es otra de las peculiaridades de los fractales: ninguno tiene una dimensión entera (2,3,…), sino que es decimal.

    100px-Menger_4.PNG.png
    Alfombra de Sierpinsky. Wikipedia.

    La alfombra de Sierpinsky es otro conjunto que podemos obtener partiendo de un cuadrado (i.e. 2 dimensiones). Dividiéndolo en 9 trozos, eliminamos el central, por lo que nos quedaría el cuadrado inicial que un agujero cuadrado en el centro. Ahora, subdividimos cada uno de los 8 cuadrados restantes en otros 9 cuadrados y realizamos la misma operación: eliminamos el central.
    Si seguimos la operación, obtendremos el conjunto que vemos en la figura de la derecha, donde los “agujeros” son los cuadrados de color negro. A muchos les sonará de tapizados de alfombras, ya que es muy utilizado en estos objetos.

    Fraqtive y diversión

    Si queremos disfrutar de estos conjuntos y pasar un rato entretenido viendo como “evoluciona” el conjunto al ir ampliándolo, tenemos un gran programa como Fraqtive, que es de código abierto y rinde muy bien (disponible tanto para Mac, BSD, GNU/Linux ó Windows).
    Hay que aclarar que al ir ampliando, el ordenador tiene que ir recalculando todos los puntos que tenemos en pantalla haciendo la serie antes mencionada para cada uno de ellos, por lo que cuando llevamos una ampliación grande, veremos cómo cada vez le cuesta más calcularlo y mostrarlo en pantalla.

    Referencias

    ACTUALIZACIÓN: En esta entrada de Pasa la vida se puede encontrar un vídeo donde van ampliando el conjunto de Mandelbrot hasta límites insospechados (realiza una ampliación de 10241), en casi 10 minutos de vídeo. Al final del viaje, se llega a conocido…

    La transformación de Zhoukowski

    Desde hace varios siglos, se descubrieron los números complejos en matemáticas, con los cuales se pudieron encontrar las soluciones a cualquier ecuación.
    Esto surgió porque hasta entonces no se sabía cómo abordar las raíces de un número negativo, es decir, no se conocía (era imposible) encontrar un número a tal que su cuadrado fuera negativo:

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    lo cual aparecía de una manera clara en ecuaciones de segundo y tercer grado.
    Para evitar este hecho se definió la cantidad

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    con la cual se pudo resolver dicho problema, ya que cuando se tenía una raíz de algo negativo, se podía sacar multiplicando la i, obteniendo simplemente una raíz de la misma cantidad, ahora positiva.

    Aplicaciones concretas a la física

    La ventaja matemática (analítica) era patente, y por eso mismo se terminó adoptando dichos “números”, lo cual creaba un nuevo conjunto (y que como suele suceder contenía a todos los anteriores) de números.
    Pero, además de poder resolver dichas ecuaciones, pronto se vio que también facilitaba enormemente cálculos que, en un principio, no tenían nada que ver con los números complejos, y que hasta entonces se resolvían por el método clásico, de aquí la afirmación que se suele ver de ““la trayectoria más corta entre dos verdades en el dominio real pasa a través del dominio complejo”“, realizada por el matemático francés Hadamard.

    Ahora comentaré un caso bastante simple que muestra cómo un problema físico bastante complicado se facilita enormemente gracias a los números complejos.

    A principio del siglo XX se comenzó a volar, lo cual requería conocer cómo era afectado el aire por las alas, ya que éstas producían que el pájaro pudiese volar o no.
    Sin embargo, este problema no es sencillo, debido tanto a la forma que tienen las alas como a que trabajamos con un fluído (el aire) que consta de un enorme número de partículas.

    Sin embargo, el matemático Joukowski (o Zhoukowski) encontró una transformación, la cual recibió su nombre, en la cual, si tenemos una circunferencia (y en vez de definirla con números reales lo hacemos en el plano complejo: 36CC1C47-AFA1-4D4E-969B-25E788E7D68D.jpg, donde se indica que el radio de dicha circunferencia es R.) y la aplicamos la transformación (que como se ve no es muy complicada):

    52A4FD8B-2EBF-4026-B9AA-FE0054DEE774.jpg

    obtenemos una forma… que nos recuerda mucho al perfil de una ala de avión (más parecida a la que había en los años 30 que en la actualidad claro). Así que, hemos obtenido un ala de avión a partir de una circunferencia, de forma fácil, ¿y ahora qué?.

    CCI00000.jpg

    Pues lo que más nos interesaría es ver cómo se comporta el aire al pasar por el borde del ala, y casualmente, este comportamiento se puede describir realizando dicha transformación como el comportamiento al pasar por la circunferencia, algo mucho más fácil matemáticamente.
    Cabe destacar que esto sigue siendo válido siempre que consideremos al aire como un fluido no viscoso, incompresible e irrotacional (no viscoso más o menos todo el mundo se puede hacer una idea de qué significa, incompresible es que la distancia entre átomos sería la misma siempre, e irrotacional quiere decir que no produce rotaciones en los objetos, dicho rápidamente), algo que obviamente no se cumple de una forma precisa, pero como la mayor part ede la física, es una buena aproximación (estamos hablando de dicha época, ahora se requiere precisiones mucho mayores).

    El logro fue que para explicar el efecto del aire sobre el ala, algo bastante complicado de tratar, se pudo recurrir a una transformación para trabajar en un plano complejo, con la cual se obtuvo que esto se reduce a un efecto sobre una simple circunferencia, algo mucho más tratable.

    Referencias

    Esta transformación junto con su utilidad se encuentra explicada en “Camino a la realidad” de Roger Penrose, un gran libro al que ya dedicaré alguna entrada, porque da para hablar, y mucho.

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