La cuerda y el melón

Empecemos el día con dos curiosidades que nos traen las matemáticas y que en un principio parecen ir contra nuestra intuición, aunque realmente sea el resultado así. Una de ellas es bastante conocida y típica de los comentarios de sobremesa pero la otra lo es bastante menos.

La primera, la que posiblemente la mayoría ya conozcáis, es sobre qué pasaría si colocamos una cuerda alrededor de la Tierra y aumentásemos su longitud una pequeña cantidad, ¿cuánto se elevaría?.
Y la segunda, la más desconocida, trata sobre alimentos con bastante contenido en agua. Viendo realmente cuánta cantidad pierden de agua si los dejamos al Sol un tiempo.

Ambos con resultados que en principio nuestra cabeza tacharía de incorrectos.

Una cuerda alrededor de la Tierra

Si nos imaginamos que la Tierra es perfectamente esférica (es decir, que no existiesen montañas ni valles ni otros desniveles), podríamos rodear toda la Tierra de una cuerda, pongamos que a la altura del ecuador por ejemplo. Así, la cuerda describiría una circunferencia perfecta, y que dado el radio de la Tierra tendría una longitud de unos 40.000 km.

Ahora bien, si hacemos un corte a esta cuerda y le añadimos un trozo para que su longitud aumente en, por ejemplo, un metro…
cuando tensemos de nuevo la cuerda, es obvio que ésta se habrá elevado una cierta altura (la circunferencia ahora tendrá un radio ligeramente mayor). Así que, ¿qué altura se habrá elevado ésta?. Es decir, con este metro adicional, podremos meter una moneda en el hueco que se ha elevado; podremos meter la mano; o incluso ¿podríamos meternos nosotros porque la cuerda se ha elevado algunos metros?.

En principio la intuición diría que lo que se eleve la cuerda será despreciable, puesto que solo hemos añadido un metro cuando la cuerda tiene 40 millones de metros, así que el radio no lo notará.
Sin embargo, el resultado curioso es que realmente lo que se eleva la cuerda no depende del radio que ya tenía, o dicho de otro modo, da igual qué longitud tuviese la cuerda. Lo que se eleve solo depende de cuánta cuerda hayamos añadido.

Esto es fácil de ver conociendo que la longitud de una circunferencia es igual al doble de su radio multiplicado por pi,

Así que si alargamos su longitud en un metro, ahora ésta será L + 1, e involucrará un aumento del radio de r metros, por lo que el radio ahora será R + r.

Luego se elevará una cantidad igual a lo que hayamos añadido a la longitud de la cuerda pero dividido por ese 2π famoso. Y que para nuestro metro, resulta en una cantidad de unos 16 cm. es decir, podríamos llegar a meter una pelota de tenis en lo que se ha elevado la cuerda!.

Ahora bien, como vemos este resultado es independiente de lo que mide la cuerda… por lo que si en lugar de tener una cuerda alrededor de la Tierra tenemos una cuerda alrededor de una sandía, al añadirle un metro también se elevará 16 cm sobre el radio que tuviera antes.

Un melón al Sol

En este otro caso vamos a ver un hecho bastante más habitual, aunque realmente no nos demos cuenta de él. El problema surge de algo que podemos ver en cualquier cocida de una casa: cuando tenemos alguna fruta u hortaliza de estas que tienen mucho agua (por ejemplo un melón, sandía, calabacín…) al dejarlo varios días al Sol veremos cómo pierde bastante agua.

Ahora bien, si suponemos que el contenido en agua de una de éstas, elijamos un melón por ejemplo, es del orden de un 99% (lo cual no será exactamente cierto pero tampoco se desviará demasiado, ya que recordemos que un cuerpo humano tiene prácticamente un 80% de agua…), ¿cuánto peso tendrá que perder el melón para que su contenido en agua descienda hasta un 98%?. Es decir, que el melón que nos quede tenga un 98% de agua, y que lógicamente pesará algo menos que según lo hemos traído a casa.

Como solo queremos que el contenido de agua del melón pase de un 99% a un 98%, el peso total del melón no habrá bajado demasiado… ¿no?. Veámoslo…
Si el melón tenía una masa M, el 99% será agua y el 1% restante será contenido sólido (que no se evaporará suponemos). Así que el contenido sólido será 0.01·M (un uno por ciento del total).
Y cuando cumpla nuestro objetivo, el melón tendrá ahora una masa más pequeña, pongamos m, de la cual seguirá teniendo la misma cantidad de materia sólida, es decir 0.01·M, y ahora un 98% de él será agua, así que:

De donde, despejando m (la masa final) podemos ver rápidamente que tiene que ser igual a… ¡la mitad de la masa inicial!. Por lo tanto, el melón habrá perdido la mitad de su peso.
¿qué podemos deducir de esto?, pues que aunque veamos que dichos alimentos pierdan visiblemente mucha agua de un día para otro, realmente el porcentaje de agua que contienen no varía apreciablemente (ya que nunca se suele dejarlos hasta que pesen la mitad de lo que pesaban antes…).

Visto en Zurditorium.